Obwohl ich erhebliche Ressourcen für eine formelle Finanzausbildung aufgewendet habe, bin ich weder auf das Kelly-Kriterium an der Business School noch auf den CFA-Lehrplan gestoßen. Ich bin fast zufällig darauf gestoßen, in William Poundstones entzückendem Buch Fortune’s Formula.

Das Kelly-Kriterium wurde 1956 von John Kelly, einem Wissenschaftler von Bell Labs, erstellt und ist eine Formel zur Dimensionierung von Wetten oder Investitionen, von denen der Investor eine positive Rendite erwartet. Es ist die einzige Formel, die ich gesehen habe und die einen mathematischen Beweis enthält, der erklärt, warum sie langfristig höhere Renditen erzielen kann als jede andere Alternative.

Meiner Ansicht nach steht die Formel im Einklang mit dem Value-Investing-Konzept einer Sicherheitsmarge und führt zu konzentrierten Portfolios, in denen die dominierenden Ideen den größten Vorteil und den geringsten Nachteil haben.

Trotz seiner relativen Dunkelheit und des Mangels an allgemeiner akademischer Unterstützung hat das Kelly-Kriterium einige der bekanntesten Investoren der Welt angezogen, darunter Warren Buffett, Charlie Munger, Mohnish Pabrai und Bill Gross. Während die Kelly-Formel eine Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anlageergebnisse im Voraus erfordert, dh eine Kristallkugel, deren Hauptalternative, Harry Markowitz ‚Mittelwert- / Varianzoptimierung, eine Schätzung der Kovarianzmatrix erfordert, die für ein Bottom-up gilt Investor, ich glaube, ist viel schwieriger zu bekommen.

Nachdem ich Poundstones Buch gelesen hatte, wollte ich das Kelly-Kriterium auf meine eigene Investition anwenden. Ich lerne anhand eines Beispiels und meine Mathematik ist verrostet. Deshalb habe ich nach einem kurzen, nicht technischen Artikel darüber gesucht, wie die Formel bei einer aktienähnlichen Investition funktionieren kann.

Leider verwenden die meisten Quellen, die ich gefunden habe, die falsche Formel.

Der Top-Artikel in einer Google-Suche nach „Kelly Calculator Equity“ bietet eine einfache, stilisierte Investition mit einer Gewinnchance von 60% und einer Verlustchance von 40% in jeder Simulation von 20%. Es sind keine anderen Ergebnisse möglich, und die Investition kann über viele Simulationen oder Zeiträume hinweg wiederholt werden.

Es ist eindeutig eine gute Investition mit einer positiven Erwartung: E ​​(x) = 60% * 20 + 40% * (-20%) = 4%. Aber welchen Anteil des Portfolios sollte es einnehmen? Eine zu kleine Allokation und das Portfolio verlieren an Wachstum. Zu große und ein paar unglückliche Ergebnisse – sogar ein einziges – könnten es bis zur Genesung niederdrücken oder ganz auslöschen. Welche prozentuale Allokation, die konsequent angewendet wird, maximiert die potenzielle langfristige Wachstumsrate des Portfolios?

Der Artikel, den ich gefunden habe und den viele mögen, verwendet die Formel Kelly% = W – [(1 – W) / R]Dabei ist W die Gewinnwahrscheinlichkeit und R das Verhältnis zwischen Gewinn und Verlust im Szenario.

Für diese Investition beträgt W 60% und R 1 (20% / 20%). Der Verlust wird positiv ausgedrückt. Wenn Sie die Zahlen eingeben, ist Kelly% = 60% – [(1 – 60%) / (20%/20%)] = 20%. Mit anderen Worten, eine Allokation von 20% in die Anlage maximiert das potenzielle langfristige Wachstum des Portfolios.

Das ist einfach falsch. Der Fehler ist intuitiv, empirisch und mathematisch. Die Formel berücksichtigt nicht die Größe potenzieller Gewinne und Verluste (Volatilität), sondern nur deren Verhältnis zueinander. In der Tat listet der Artikel nicht einmal den potenziellen Gewinn oder Verlust auf. Ändern Sie den potenziellen Gewinn und Verlust von jeweils 20% auf jeweils 200%, und die Investition wird zehnmal volatiler. Das Verhältnis R bleibt jedoch gleich – 200% / 200% = 1 – ebenso wie die resultierende 20% optimale Zuordnung der Formel.

Dies summiert sich nicht.

Stellen Sie sich eine Simulation mit drei verschiedenen Allokationsszenarien vor, die alle immer wieder dieselbe Investition replizieren: Rot ordnet 20% des Portfolios zu, wie in den Artikeln vorgeschlagen, Blau geht zu 100% All-In und Grün hebt bis zu 150%. Die folgende Tabelle zeigt, wie sich die Simulation nach 100 Runden abspielt.

Im roten Szenario „Kelly optimal“ erzielte eine Allokation von 20% eine relativ schwache 2x Rendite. Die blaue All-in-Option erzielte eine 6,2-fache Rendite. Grün übertraf Blau eine Zeit lang, aber eine Reihe von Verlusten in den späteren Runden führte zu einer 3,4-fachen Rendite.

Dies war nicht nur ein glückliches Ergebnis für Blue. Führen Sie die Simulation 1.000 Mal aus, und Blau schlägt 79% der Zeit Rot 79% und Grün 67% der Zeit. Die mittlere Rendite von Blau war mindestens 3x besser als die von Rot und fast 2x besser als die von Grün. Kurz gesagt, die 20% -Zuweisung ist zu konservativ und die grüne Option zu aggressiv.

Ende des Portfoliowerts nach 1.000 Simulationen (in Dollar, beginnend mit 1 USD in Periode 1)

Die Kelly-Formel im ersten Szenario – Kelly% = W – [(1 – W)/R] – ist keine Anomalie. Es taucht in vielen anderen Quellen auf, darunter NASDAQ, Morningstar, Wileys For Dummies-Serie, Old School Value usw., und ist analog zu der in Fortunes Formel: Kelly% = Rand / Gewinnchancen.

Die Formel funktioniert jedoch nur für binäre Wetten, bei denen das Abwärtsszenario ein Totalverlust des Kapitals ist, wie bei -100%. Ein solches Ergebnis kann für Blackjack- und Pferderennen gelten, selten jedoch für Kapitalmarktinvestitionen.

Wenn der Downside-Case-Verlust weniger als 100% beträgt, wie im obigen Szenario, ist eine andere Kelly-Formel erforderlich: Kelly% = W / A – (1 – W) / B.Dabei ist W die Gewinnwahrscheinlichkeit, B der Gewinn im Falle eines Gewinns (20%) und A der potenzielle Verlust (ebenfalls 20%).

Geben Sie die Werte für unser Szenario ein: Kelly% = 60% / 20% – (1 – 60%) / 20% = 100%, was die Gewinnzuweisung von Blue war.

Der theoretische Nachteil aller Kapitalmarktinvestitionen beträgt -100%. Es passieren schlimme Dinge. Unternehmen gehen bankrott. Anleihen sind standardmäßig und werden manchmal ausgelöscht. Meinetwegen.

Aber für eine Analyse der Wertpapiere im binären Rahmen impliziert durch die Rand / Gewinnchancen Formel: Die Wahrscheinlichkeit eines Abwärtsszenarios muss auf die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtkapitalverlusts festgelegt werden, nicht auf die viel größere Wahrscheinlichkeit eines Verlusts.

Es gibt viele Kritikpunkte am Kelly-Kriterium. Und während die meisten den Rahmen dieses Artikels sprengen, lohnt es sich, darauf einzugehen. Ein Wechsel zur „richtigen“ Kelly-Formel – Kelly% = W / A – (1 – W) / B. – führt oft zu deutlich höheren Zuordnungen als die populärere Version.

Die meisten Anleger tolerieren die Volatilität und die daraus resultierenden Drawdowns nicht und entscheiden sich für eine Reduzierung der Allokation. Das ist gut und schön – beide Variationen der Formel können verkleinert werden – aber die „richtige“ Version ist immer noch überlegen. Warum? Weil es die Anleger explizit berücksichtigt und ermutigt, über das Abwärtsszenario nachzudenken.

Und meiner Erfahrung nach wird ein wenig mehr Zeit, die ich damit verbringe, darüber nachzudenken, reichlich belohnt.

Anhang: Unterstützung von Mathematik

Hier ist eine Ableitung der Kelly-Formel: Ein Anleger beginnt mit 1 USD und investiert einen Bruchteil (k) des Portfolios in eine Anlage mit zwei potenziellen Ergebnissen. Wenn die Investition erfolgreich ist, gibt sie B zurück und das Portfolio ist 1 + kB wert. Wenn es fehlschlägt, verliert es A und das Portfolio ist 1 – kA wert.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit der Investition beträgt w. Der Anleger kann die Anlage beliebig oft wiederholen, muss jedoch jedes Mal den gleichen Bruchteil (k) anlegen. Welcher Bruchteil k maximiert das Portfolio langfristig?

Langfristig wird erwartet, dass der Investor nach n Zeiten, in denen n groß ist, w * n Gewinne und (1 – w) n Verluste hat. Das Portfolio P ist wert:

Wir möchten für das optimale k lösen:

Um zu maximieren, nehmen wir seine Ableitung in Bezug auf k und setzen es auf 0:

Auflösen nach k:

Beachten Sie, dass, wenn der Verlust des Abwärtsszenarios insgesamt ist (A = 1), diese Formel auf die oben zitierte populärere Version vereinfacht wird, weil R = B / A = B / 1 = B, also:

Anhang: Unterstützender Code

Unten finden Sie den R-Code, mit dem die Simulation erstellt wurde, sowie die obigen Diagramme.

#################################################### ########
#Kelly Simulation, binäre Sicherheit
# von Alon Bochman
##################################################### ########
Versuche = 1000 # Wiederholen Sie die Simulation so oft
Perioden = 100 # Perioden pro Simulation
winprob = 0,6 # Gewinnwahrscheinlichkeit pro Periode
return = c (0,2, -0,2) # Gewinn bei Gewinn, Verlust bei Verlust
Brüche = c (0,2,1,1,5) # Konkurrierende Zuordnungen zum Testen

Bibliothek (ggplot2)
Bibliothek (reshape2)
Bibliothek (ggrepel)
Prozent <- Funktion (x, Ziffern = 2, Format = "f", ...) {
paste0 (FormatC (100 * x, Format = Format, Ziffern = Ziffern,…), „%“)
}}

set.seed (136)
Reichtum = Array (Daten = 0, dim = c (Versuche, Länge (Brüche), Perioden))
Reichtum[,,1] = 1 # Gl. = 1 in Periode 1

#Simulationsschleife
für (Versuch in 1: Versuche) {
Ergebnis = rbinom (n = Perioden, Größe = 1, prob = winprob)
ret = ifelse (Ergebnis, gibt zurück[1],kehrt zurück[2])
für (i in 2: Länge (ret)) {
für (j in 1: Länge (Brüche)) {
Wette = Brüche[j]
Reichtum[trial,j,i] = Reichtum[trial,j,i-1] * (1 + Wette * ret[i])
}}
}}
}}

#Trial 1 Ergebnisse
view.trial = 1
d <- schmelzen (Reichtum)
Spaltennamen (d) = c („Versuch“, „Bruch“, „Periode“, „Gleichung“)
d = Teilmenge (d, Trial == view.trial)
d $ Fraction = as.factor (d $ Fraction)
Ebenen (d $ Bruch) = Einfügen („Investieren“, Prozent (Brüche, Ziffern = 0), sep = „)
d[d$Period == periods,’Label’] = d[d$Period == periods,’Eq’]
ggplot (d, aes (x = Periode, y = Gleichung, col = Bruch)) +
geom_line (size = 1) + scale_y_log10 () +
Labore (y = „Portfolio Value“, x = „Period“) +
Guides (col = guide_legend (title = ”Allocation”)) +
Thema (legend.position = c (0.1, 0.9)) +
scale_color_manual (Werte = c („rot“, „blau“, „grün“)) + #Anpassen, wenn> 2 Zuordnungen
geom_label_repel (aes (label = round (Label, digits = 2)),
nudge_x = 1, show.legend = F, na.rm = TRUE)

# All-Trial-Ergebnisse
d = data.frame (Wohlstand[,,periods]) #Nur letzte Periode
Spaltennamen (d) = Einfügen („Investieren“, Prozent (Brüche, Ziffern = 0), sep = „)
Zusammenfassung (d)
nrow (Teilmenge (d, d[,2] > d[,1])) / Versuche #Blau vor Rot
nrow (Teilmenge (d, d[,2] > d[,3])) / Versuche #Blau vor Grün

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Alle Beiträge sind die Meinung des Autors. Als solche sollten sie weder als Anlageberatung ausgelegt werden, noch spiegeln die geäußerten Meinungen notwendigerweise die Ansichten des CFA-Instituts oder des Arbeitgebers des Autors wider.

Bildnachweis: © Getty Images / PATCHARIN SIMALHEK

Alon Bochman, CFA

Alon Bochman, CFA, ist Partner in der Kapitalmarktberatungspraxis von Genpact (NYSE: G) mit Sitz in New York. Er arbeitet mit Vermögensverwaltern und Banken zusammen, um ihnen zu helfen, bessere Entscheidungen mit Daten zu treffen. Zuvor leitete er zwei Jahre lang ein Aktienportfolio für SC Fundamental. Bochman begann seine Karriere als Programmierer mit der Gründung einer Social-Networking-Softwarefirma, die schließlich von Thomson-Reuters übernommen wurde. Er hat einen MBA von der Columbia Business School und einen BA von der University in Albany.